78.馬克思致恩格斯[189] 1865年底—1866年初  

馬克思 恩格斯/中共中央馬克思、恩格斯、列寧、斯大林著作編譯局編譯

曼徹斯特

[1865年底—1866年初于倫敦]

附件

我上次在曼徹斯特的時候[174]你有一次曾經(jīng)要我談?wù)勎⒎謱W(xué)。從下面這個例子中你可以完全弄清楚這個問題。全部微分學(xué)本來就是求任意一條曲線上的任何一點的切線。我想就用這個例子來給你說明問題的實質(zhì)。

假設(shè)mAo是任意一條曲線，其性質(zhì)（是不是拋物線、橢圓，等等）我們并不知道，在ｍ這個點上要求作它的一條切線。

Ａｘ是軸。我們對橫座標(biāo)Ax作一條垂直線mP（縱座標(biāo)）?，F(xiàn)在假設(shè)，n是曲線上無限地接近于ｍ的一個點。如果我對軸作一條垂直線np，那末ｐ就應(yīng)該是無限地接近于Ｐ的一個點，而np就應(yīng)該是無限地接近于mp的一條平行線?，F(xiàn)在你再對np作一條無限小的垂直線mR?，F(xiàn)在你如果假設(shè)橫座標(biāo)AP為ｘ，縱座標(biāo)mP為ｙ，那末np＝mP（或Rp）加一段無限小的增量[nR]，或者[nR]＝dy（ｙ的微分），而mR＝（Pp）＝dx。既然切線的這一段mn是無限小的，所以它同曲線本身相應(yīng)的部分是吻合的。因此我可以把ｍｎＲ看做是△（三角形），把△mnR和△mTP看做是相似三角形。所以：dy（＝nR）：dx（＝mR）＝y(tǒng)（＝mP）：PT（它對切線Tn說來是次切線）。所以次切線PT＝Уdx/dy。這就是所有的曲線的各個切點的一般的微分方程。如果我現(xiàn)在需要進(jìn)一步解這個方程，并利用它來確定次切線ＰＴ的長度（如果后者已經(jīng)有了，我只要用一條直線把Ｔ和ｍ這兩個點連接起來，就可得出切線），那末我必須知道曲線的特性是什么。按照它的性質(zhì)（例如拋物線、橢圓、蔓葉線等等），它有對于每個點的縱座標(biāo)和橫座標(biāo)的確定的一般的方程，這種方程來自代數(shù)幾何學(xué)。例如，如果曲線ｍＡｏ是一根拋物線，那末我就知道ｙ2（ｙ是每個任意一點的縱座標(biāo)）＝ax，在這里ａ是拋物線的參數(shù)，而ｘ是相當(dāng)于縱座標(biāo)ｙ的橫座標(biāo)。

要是我把ｙ的這個數(shù)值代入方程PT＝y(tǒng)+(dx/dy)，那末我就應(yīng)該首先找出dy，也就是說，求出ｙ的微分（這是當(dāng)ｙ無限小地增長時附加于ｙ的部分）。如果y2＝ax，那末我根據(jù)微分學(xué)知道，d（y2）＝d（ax）（當(dāng)然我應(yīng)該求出方程兩邊的微分），結(jié)果是2ydy＝adx（d到處總是表示微分）。因此dx＝2ydy/a。如果我把dx的這個數(shù)值代入公式PT＝y(tǒng)dx/dy那末就得出PT＝2y2dy/adx＝2y2/a＝（因為y2＝ax）＝2ax/a＝2x。或者：拋物線的每一點m的次切線等于同一點的雙倍的橫座標(biāo)。微分的量在運算中消失了。

注釋：

[174]1865年10月20日至11月初，馬克思在曼徹斯特恩格斯處。——第155、168、487、490、494頁。

[189]以《附件》為標(biāo)題的這個材料，大概是馬克思在給恩格斯的一封信中附寄的。——第168頁。

出處：馬克思恩格斯全集第31卷