二

太極圖的S曲線，并不是隨意性的美工圖，它實(shí)際上貫徹了以勾股定理為基礎(chǔ)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)智慧。

中國(guó)人對(duì)勾股定理的描述，最少可以上溯至三千年前西周初年的商高，而古巴比倫人應(yīng)用勾股定理，大約在公元前三千年前。公元前六世紀(jì)古希臘人畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的證明，使勾股定理在歐洲有了“畢達(dá)哥拉斯定理”的名稱(chēng)。如果從勾股定理入手，通過(guò)單位正方形內(nèi)的內(nèi)切圓，應(yīng)用阿基米德定理的杠桿平衡原理和模糊數(shù)學(xué)的核心思想，可以用一個(gè)初等函數(shù)精確地表達(dá)太極圖的S曲線。這一論證將表明，太極圖是可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的，并不是無(wú)標(biāo)準(zhǔn)方程、無(wú)標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形的。其意義不僅在于充分表達(dá)了中國(guó)太極圖的科學(xué)性，也充分表達(dá)了太極圖反映事物存在和發(fā)展的本根依據(jù)。

一般來(lái)說(shuō)，我們認(rèn)為，當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一端的軌跡叫作圓；在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓。圓的定義也可由眾所周知的勾股定理而得，“一個(gè)直角三角形兩個(gè)直角邊的平方之和等于斜邊的平方”，也就是說(shuō)，當(dāng)斜邊定長(zhǎng)時(shí)，兩個(gè)直角邊此消彼長(zhǎng)的點(diǎn)的集合恰恰就是圓的軌跡。幾何圖形如圖1，代數(shù)表達(dá)式為：

a2+b2=c2，或(a/c)2+(b/c)2=1（1）

我國(guó)東漢末的數(shù)學(xué)家趙爽在注《周髀算經(jīng)》時(shí)就說(shuō)：“勾股各自乘，并之為弦實(shí)。開(kāi)方除之，即弦。” 趙爽并依此還創(chuàng)造了“勾股圓方圖”。

若用x和y分別表示兩個(gè)直角邊與斜邊所對(duì)應(yīng)正方形面積的商值，并分別定義這個(gè)商值為這個(gè)三角形的陽(yáng)值和陰值：

即令x=a2/c2,y=b2/c2

則有x+y=1（2）

這意味著無(wú)論兩個(gè)直角邊怎樣變化，其商值之和恒等于“1”，即它們的陽(yáng)值和陰值之和恒等于“1”。其幾何形式如圖2。

∵a,b∈(0，c)，∴x,y∈(0，1).

x=a2/c2=(c2-b2)/c2=sin2α

=(1-cos2α)/2:=P(α)

α∈(-∞，+∞)

y=b2/c2=(c2-a2)/c2=cos2α

=(1+cos2α)/2:=N(α)

α∈(-∞，+∞)(3)

如果說(shuō)式（1）和圖1是歐幾里得幾何的基石，那么圖2和式（2）則提出了模糊集合的概念，開(kāi)啟了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展之路。把它們聯(lián)系起來(lái)，則有如下概念：

勾股定理的本質(zhì)內(nèi)涵是指一個(gè)單位直角三角形的斜邊所對(duì)應(yīng)的面積恒等于兩個(gè)直角邊所對(duì)應(yīng)的面積之和。我們假定可以選擇一個(gè)特定的城市，如甘肅省張掖市。這個(gè)城市由沙漠和綠洲兩部分構(gòu)成，有水即為綠洲，無(wú)水則為沙漠，但沙漠面積和綠洲面積之和總不會(huì)變。若把張掖這個(gè)城市的總面積看作一個(gè)單位面積“一”，那么，綠洲面積和沙漠面積之和則恒等于“1”，當(dāng)綠洲面積變大時(shí)，沙漠面積就會(huì)變小，反之亦然（圖４）。而這個(gè)此消彼長(zhǎng)的點(diǎn)的集合恰恰就是圓的軌跡。

又因?yàn)閤=1-y，y=1-x，說(shuō)明陽(yáng)函數(shù)和陰函數(shù)相反相成、偶對(duì)平衡、對(duì)立統(tǒng)一，像量子糾纏一樣，總是彼此以對(duì)方的存在為依據(jù)，相互糾纏、相互疊加，總值恒等于“1”，即綠洲面積是關(guān)于沙漠面積的偏差值，而沙漠面積是關(guān)于綠洲面積的偏差值，它們的偏差值之和恒等于“1”。然而，張掖的大部分區(qū)域是在綠洲和沙漠之間，就像是在x+y=1這條線段上的點(diǎn)一樣，總處于［0，1］這個(gè)區(qū)間內(nèi)，所不同的是相對(duì)于某一個(gè)平衡值而言，是綠洲屬性更強(qiáng)一點(diǎn)，還是沙漠屬性更強(qiáng)一點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，我們完全可以在某一單純屬性上，就兩個(gè)相反相成的狀態(tài)，進(jìn)行集合分類(lèi)，就像土壤的含水量可以分為干濕兩個(gè)相反相成的集合，經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀態(tài)也可以分為積累和消費(fèi)兩個(gè)相反相成的集合。大道至簡(jiǎn)，簡(jiǎn)而言之，就像我們對(duì)待一切事物的主觀態(tài)度一樣，都可以以某一個(gè)客觀平衡值，將事物分為正反、白黑、上下、左右、大小、輕重，甚至是好和壞兩個(gè)相反相成的狀態(tài)進(jìn)行集合分類(lèi)（我們可以將此集合分類(lèi)法記為：↑0↓）。盡管如此，但事物狀態(tài)的真實(shí)存在大多是在黑白的區(qū)間內(nèi)，不是簡(jiǎn)單的非白即黑的羅素悖論，而更多的是亦白亦黑，所不同的是黑白大小比例不同而已，這也是模糊數(shù)學(xué)之由來(lái)。

如此看來(lái)，弦、勾股定理和圓的本質(zhì)內(nèi)涵是一致的，動(dòng)則為圓，靜則為矩，都是關(guān)于“一”的哲學(xué)和科學(xué)。實(shí)際上，源于我國(guó)魏晉時(shí)期的玄學(xué)，已經(jīng)是在先秦易學(xué)思想“一陰一陽(yáng)之謂道”“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”關(guān)于陰陽(yáng)消長(zhǎng)、此消彼長(zhǎng)的哲學(xué)思辨和《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》關(guān)于圓、勾股定理的數(shù)形學(xué)理分析基礎(chǔ)之上才興起的，它一直深刻地影響著中國(guó)后期的文化。中國(guó)的水墨畫(huà)就是這一思想的典型代表，如果說(shuō)把黑白定義為0和1或者陰和陽(yáng)，那么，大千世界就會(huì)隨著墨香的濃淡深淺在黑白之間，在［0，1］的區(qū)間內(nèi)，在陰陽(yáng)此消彼長(zhǎng)的變化中惟妙惟肖地飄逸呈現(xiàn)出來(lái)，把人帶入天地間的無(wú)限遐想之中。從這個(gè)角度講，我們完全有理由說(shuō)，中國(guó)的水墨畫(huà)就是一張陰陽(yáng)圖，就是一張模糊數(shù)學(xué)的集合圖。不僅如此，它也是辯證唯物主義“一分為二”的數(shù)學(xué)模型圖，視事物為一個(gè)相反相成的矛盾統(tǒng)一體↑0↓，矛盾著的兩個(gè)方面相互作用此消彼長(zhǎng)推動(dòng)事物的發(fā)展。